Question

如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BE的中点G，连接GF，GD．
∵F是BC的中点，
则GF为△BCE的中位线．
∴GF∥EC，．
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴GF∥EC∥AD．
又∵，
∴GF=AD．
∴四边形GFAD为平行四边形．
∴AF∥DG．
∵DG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC．
∵EC∥GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又AF?平面ABC，
∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，
∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，
∴DG⊥平面BCE．
又DG?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．
分析：（I）取BE的中点G，连接GF，GD．利用三角形的中位线定理即可得到GF∥EC，．由AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理即可得到AD∥EC，进而即可判断四边形AFGD 为平行四边形，得到AF∥DG，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用等腰三角形的性质即可得到AF⊥BC，再利用线面垂直的性质得到GF⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面BEC，而DG∥AF，得到DG⊥平面BEC，利用面面垂直的定理即可证明结论．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．