Question

（2013•丰台区二模）曲线f(x)=x+

1

x

在x=

1

2

处的切线方程是

3x+y-4=0

，在x=x₀处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为

2

．

Answer 1

分析：求导数可得切线的斜率，代值可得点的坐标，由点斜式可得方程；写出x=x₀处的切线方程，求得与直线y=x和y轴的交点坐标，进而可得面积．

解答：解：由题意可得f′(x)=1-

1

x2

，f（

1

2

）=

5

2

故曲线在x=

1

2

处的切线的斜率k=f′(

1

2

)=-3，
故切线方程为y-

5

2

=-3（x-

1

2

），即3x+y-4=0；
可得在x=x₀处的切线斜率为f′(x0)=1-

1

x02

，
故方程为：y-（x0+

1

x0

）=（1-

1

x02

）（x-x₀），
令y=x可得x=y=2x₀，令x=0可得y=

2

x0

，
故三角形的面积为S=

1

2

×|

2

x0

||2x0|=2，
故答案为：3x+y-4=0；2

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，涉及三角形面积的求解，属中档题．