Question

设S_n为数列{a_n}的前项和，已知a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*
（1）求a₁，a₂；
（2）证明数列{a_n}是等比数列；
（3）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=2-1=1，当n=2时，a1+a2=

2a2

a1

-1，解得a₂=2．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1．即可证明数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）得an=2n-1．设T_n为数列{na_n}的前n项和．可得T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：当n=1时，a₁=2-1=1，当n=2时，a1+a2=

2a2

a1

-1，即1+a₂=2a₂-1，解得a₂=2．
（2）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1．
又a₂=2a₁，因此n=1时也成立．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）解：由（2）得an=2n-1．
设T_n为数列{na_n}的前n项和．
∴T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．