Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．

(Ⅰ)求证：平面PDE⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成的角；

(Ⅲ)求点B到平面PDE的距离．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)设AC与DE交点为G，延长DE交CB延长线于点F，则△DAE≌△FBE，

∴BF=AD=1，∴CF=4，

∴tan∠F=

又tan∠ACD=，

∴∠F=∠ACD,

又∵∠ACD+∠ACF=90°，

∴∠F+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，

∴AC⊥DE，

又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，

∵DE平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.

(Ⅱ)连结PG，过点C作CH⊥PG于H点，则由(Ι)知平面PDE上平面PAC，且PG是交线，根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，从而∠CPH即∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角.

在Rt△DCA中，CG=

在Rt△PCG中，tan∠CPG=

所以有∠CPG=arctan .

即直线PC与平面PDE所成的角为arctan. 

(Ⅲ)由于BF=CF，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的，即CH.

在Rt△PCG中，CH=

从而点D到平面PDE的距离等于. 

解法二：如图所示，以点C为坐标原点，直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

则相关点的坐标为C(0，0,0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，

(Ⅰ)由于=(-1,2,0),=(2,1,0),=(0,0,2)，

所以·=(-1,2,0)·(2,1,0)=0,

·=(-1，2，0)·(0，0，2)=0.

所以DE⊥CA，DE⊥CP.

而CP∩CA=C，所以DE⊥平面PAC.

∵DE平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.

(Ⅱ)设n=(x,y,z)是平面PDE的一个法向量,则n·=n·=0，

由于=(-1,2,0), =(1,2,-2),所以有

令x=2,则y=1,z=2,即n=(2,1,2),

再设直线PC与平面PDE所成的角为α

而=(0,0,-2),所以

sinα=|cos〈n,〉|=

=,

∴α=arcsin,

因此直线PC与平面PDE所成的角为arcsin.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知n=(2，1，2)是平面PDE的一个法向量，而(1，-1，0)，所以点B到平面PDE的距离为