Question

如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁各棱长都等于a,E是BB₁的中点,

(1)求直线C₁B与平面A₁ABB₁所成角的正弦值;

(2)求证:平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁;

(3)求点C₁到平面AEC的距离.

Answer 1

答案：(1)解：取A₁B₁中点M,连结C₁M、BM.

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴C₁M⊥A₁B₁,C₁M⊥BB₁.∴C₁M⊥平面A₁ABB₁.

∴∠C₁BM为直线C₁B与平面A₁ABB₁所成的角.在Rt△BMC₁中,C₁M=a,BC₁=2a,

∴sin∠C₁BM=.

(2)证明:取A₁C₁的中点D₁,AC₁的中点F,连结B₁D₁、EF、D₁F,则有D₁FAA₁,B₁EAA₁,

∴D₁FB₁E.则四边形D₁FEB₁是平行四边形,∴EFB₁D₁.由于三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴B₁D₁⊥A₁C₁.又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁,且B₁D₁平面A₁B₁C₁,∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁.∴EF⊥平面ACC₁A₁.又∵EF平面AEC₁,∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)解：由(2)知,EF⊥平面ACC₁A₁,则EF是三棱锥E—ACC₁的高.由三棱柱各棱长都等于a,

∴EC=AE=EC₁=a,AC₁=a.∴EF=a(或EF=B₁D₁=a).

∵,设三棱锥的高为h,则h为C₁到平面AEC的距离,则,即×a²h=×a²a.∴h=a,即点C₁到平面AEC的距离为a.