Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

Answer 1

【答案】分析：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤．要做好命题n=k到n=k+1的转化，要注意转化的要求是在变化过程中结构不变．
解答：解：（1）．
（2）用数学归纳法证明：
1°当n=0时，，∴a＜a₁＜2，命题正确．
2°假设n=k时，有a_k-1＜a_k＜2．
则n=k+1时，=．
而a_k-1-a_k＜0，4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k-1＜0．
又，∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N，有a_n＜a_n+1＜2．
点评：用数学归纳法证第二步时采用的是作差比较法，针对证明的目标，即要证明“左边-右边＜0”即可，但一定要注意拆项添项配凑出假设条件，才是完整的数学归纳法证明．