Question

已知实数x，y满足方程x²＋y²－4x＋1＝0，求：

(1)y－x的最大值和最小值；

(2)x²＋y²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由于方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圆，而由y－x可联想到直线方程，由x2＋y2可联想到平面内两点间的距离公式，因此可将代数问题转化为平面几何问题求解． 　　解：原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以C(2，0)为圆心，半径长r＝的圆． 　　(1)设y－x＝b，其中(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝3上，则当直线x－y＋b＝0与圆相切时，b取得最值． 　　由＝，解得b＝－2±． 　　所以y－x的最大值为－2，最小值为－2－． 　　(2)设d＝，其中(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝3上，则d表示原点O与该圆上的点(x，y)的距离． 　　因为|OC|＝2，所以dmax＝2＋，dmin＝2－ 　　所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4． 　　点评：与圆有关的最值问题，常与圆心、半径、切线长有关，可借助图形的性质，转化为平面几何知识，利用数形结合的方法求解．形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为斜率为定值的动直线的截距的最值问题；形如d2＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为与定点(a，b)的距离有关的最值问题；形如u＝的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直线的斜率的最值问题．