Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

Answer 1

直线的倾斜角为arctan或π-?arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的?焦点.

解析:

抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为(-1，0).

设直线MN的方程为y=k(x+1).

由

得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

∵直线与抛物线交于M、N两点,

∴Δ=4(k²-2)²-4k⁴＞0,

即k²＜|k²-2|，k²＜1，-1＜k＜1.

设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，抛物线焦点为F(1，0).

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,

∴MF⊥NF.

∴=-1,

即y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0.

又x₁+x₂=-，x₁x₂=1,

y₁²y₂²=1６x₁x₂=1６且y₁、y₂同号,

∴=-６.

解得k²=.∴k=±.

故直线的倾斜角为arctan或π-?arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的?焦点.