Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=,n=1,2,3,….

(1)求首项a₁与通项a_n;

Answer 1

解：S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹+,n=1,2,3,…,

∴a₁=S₁=a₁-×4+.

解得a₁=2.

又由S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹+,得S_n-1=a_n-1-×2ⁿ+,n=2,3,…,

两式相减,得a_n=S_n-S_n-1=(a_n-a_n-1)-(2ⁿ⁺¹-2ⁿ),

整理,得(a_n+2ⁿ)=4(a_n-1+2^n-1),n=2,3,…,

即数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2=4为首项,公比为4的等比数列,

即a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ.

∴a_n=4ⁿ-2ⁿ,n=1,2,3,….

(2)设T_n=,n=1,2,3,…,证明.

证明：由a_n=4ⁿ-2ⁿ,得S_n=(4ⁿ-2ⁿ)- ×2ⁿ⁺¹+= (2ⁿ⁺¹-1)(2ⁿ-1).

T_n=.

∴.