Question

已知函数f（x）=（x-1）ln（1-x），则
（1）f（x）＞0的解集为

 

；
（2）f（x）的最大值为

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，（x-1）ln（1-x）＞0时，考虑到定义域，有x-1＜0，因此只需要解 ln（1-x）＜0 即可；
（2）本题利用导数来解答，先求出导函数，求出函数的单调增区间和减区间，得出函数在何时取到最大值．

解答：解：（1）由已知可得函数的定义域为：{x|x＜1}，所以x-1＜0，
由f（x）=（x-1）ln（1-x）＞0得ln（1-x）＜0，
所以0＜1-x＜1，即0＜x＜1，所以f（x）＞0的解集为：（0，1）
（2）对函数求导数得：f′（x）=ln（1-x）+1，由f′（x）＞0得x＜1-

1

e

，
因此函数f（x）在(-∞，1-

1

e

]上是增函数，在[1-

1

e

，1)上是减函数，
所以函数的最大值为：f(x)max=f(1-

1

e

)=[（1-

1

e

）-1]ln[1-（1-

1

e

）]=

1

e

．
故答案为：（1）（0，1）； （2）

1

e

点评：本题考查了函数的定义域，不等式的解集的求法，函数导数在求最值方面的应用．