Question

已知e₁、e₂是任意的两个向量，给出下列四个命题：
①若e₁与e₂共线，则e₁+e₂与e₁-e₂共线；
②若e₁与e₂不共线，则e₁+e₂与e₁-e₂不共线；
③若e₁+e₂与e₁-e₂共线，则e₁与e₂共线；
④若e₁+e₂与e₁-e₂不共线，则e₁与e₂不共线．

在以上四个命题中，正确的命题有

1. A.
   ①、②、③
2. B.
   ①、②、④
3. C.
   ①、③、④
4. D.
   ①、②、③、④

Answer 1

D
结论①的正确性：如果e₁＝e₂＝0，那么e₁+e₂与e₁-e₂共线．如果e₁、e₂至少有一个不是零向量，不妨设e₁≠0，那么，由e₁与e₂共线可知，e₂＝λe₁(λ∈R)，于是e₁+e₂＝(1+λ)e₁与e₁共线，e₁-e₂＝(1-λ)e₁与e₁共线，所以e₁+e₂与e₁-e₂共线．结论②的正确性：e₁-e₂≠0是成立的，否则e₁＝e₂与已知的e₁与e₂不共线相矛盾．假设e₁+e₂与e₁-e₂共线，则e₁+e₂＝k(e₁-e₂)(k∈R)，于是(1-k)e₁+(1+k)e₂＝0，这样就出现了k＝1和k＝-1的矛盾，所以e₁+e₂与e₁-e₂不共线．结论③的正确性：如果e₁、e₂至少有一个是零向量，那么e₁+e₂与e₁-e₂共线和e₁与e₂共线都成立．如果e₁≠0，且e₂≠0，那么e₁+e₂、e₁-e₂至少有一个不为0，不妨设e₁-e₂≠0，这时，由e₁+e₂与e₁-e₂共线可知，e₁+e₂＝m(e₁-e₂)(m∈R)，即(1-m)e₁+(1+m)e₂＝0．假设e₁与e₂不共线，则m＝1，m＝-1，这与m的存在性是矛盾的，所以，e₁与e₂共线．结论④的正确性：假设e₁与e₂共线，则e₁与e₂可划分为两类，即e₁与e₂至少有一个是0；或e₁≠0，e₂≠0，且e₁与e₂共线．若e₁与e₂至少有一个是0，则e₁+e₂、e₁-e₂共线，这与已知是矛盾的．若e₁≠0,e₂≠0,且e₁与e₂共线，则e₁＝ne₂(n∈R)，这时，e₁+e₂＝(n+1)e₂与e₂共线，e₁-e₂＝(n-1)e₂与e₂共线，所以，e₁+e₂与e₁-e₂共线，这与已知也是矛盾的．综上，结论①、②、③、④都是正确的．