Question

研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.10
流速Y/(m·s-1)	1.70	1.79	1.88	1.95	2.03	2.10	2.16	2.21

（1）求Y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95 m时水的流速是多少？

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如图所示. 由图容易看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程=a+bx来反映这种关系，这些是我们在必修模块数学3中学过的知识. 进一步观察这8个点，容易发现它们并不是“严格地”在一条直线上，对于某个xi，由上式能确定一个=a+bxi，一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归直线方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，即yi=i+ei(i=1,2,…,8),其中ei是随机误差项.于是，就有yi=a+bxi+ei(i=1,2,…,8),这就是本题的线性模型. 从上述线性模型出发，我们可以求出a与回归系数b的估计值,，使得全部误差e1,e2,…,e8的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计.最后得到的求,的数学公式为 = . 解析：（1）可采用列表的方法计算a与回归系数b. 序号 x y x2 xy 1 1.40 1.70 1.96 2.380 2 1.50 1.79 2.25 2.685 3 1.60 1.88 2.56 3.008 4 1.70 1.95 2.89 3.315 5 1.80 2.03 3.24 3.654 6 1.90 2.10 3.61 3.990 7 2.00 2.16 4.00 4.320 8 2.10 2.21 4.41 4.641 ∑ 14.001 5.822 4.922 7.993 于是，=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5, =≈0.733. =1.977 5-×1.75≈0.694. Y对x的回归直线方程为 =+x=0.694+0.733x. 回归系数=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s(本例数据是以0.1 m为水深间隔测得的），=0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分. （2）由（1）中求出的回归直线方程，把x=1.95代入，易得 =0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s). 计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.