Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+x-1．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）解方程f（x）=1．

Answer 1

解：（1）1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=0--------------（2分）
2°设x＜0，则-x＞0，根据当x＞0时，f（x）=x²+x-1，得f（-x）=x²-x-1，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-x²+x+1----------（4分）
综上：f（x）=------------5分
（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，
并且f（0）=0，由此可得函数图象如右图------------------（10分）
（3）根据（2）的函数图象，可得当f（x）=1时，函数函数f（x）的图象在x=1时成立，
方程f（x）=1的解x=1．-------（15分）
分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，再设x＜0，根据函数的表达式结合函数为奇函数的性质得f（x）=-f（-x）=x²-1，最后综合可得函数f（x）的表达式；
（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，并且f（0）=0，由此可得函数图象如图；
（3）对照（2）的函数图象，可图解方程f（x）=1．
点评：本题以二次函数和分段函数为例，着重考查了函数奇偶性的性质和奇偶性与单调性的综合等知识点，属于基础题．