Question

已知数列{a_n}满足an+1=

2an

an+2

，an≠0，且a1=

1

2

，cn=(

2-2an

an

)(

1

2

)n(n∈N*)．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）求T_n=c₁+c₂+…+c_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

2an

an+2

，an≠0，可得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，结合等差数列的通项可求

1

an

，进而可求a_n
（Ⅱ）由Cn=(n+1)•(

1

2

)n，考虑利用错位相减可求．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

2an

an+2

，an≠0，

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
数列{

1

an

}是首项为

1

a1

=2，公差为

1

2

的等差数列，
故

1

an

=

1

a1

+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

3

2

所以数列{a_n}的通项公式为an=

2

n+3

，
（Ⅱ）∵Cn=(n+1)•(

1

2

)n
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n+1)×(

1

2

)n①

1

2

Tn=       2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n+1②
由①-②得

1

2

Tn =1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n+1
=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

点评：本题主要考查了利用数列的地推公式求解数列的通项公式，等差数列通项公式的应用，错位相减求数列的和，这是数列求和的一个难点所在．