Question

已知函数f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x，y），求点P的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，
∴f'（x）=48x²-40ax+8a²=8（2x-a）（3x-a）
由f′（x）=0，得x=

a

2

，x=

a

3

，
当a＞0时，

a

3

＜

a

2

，见下表：

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ， a 2 )	a 2	( a 2 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

∴当x=

a

3

时，函数取得极大值为f(

a

3

)=

a3

27

；
当x=

a

2

时，函数取得极小值为f(

a

2

)=0
当a＜0时，

a

2

＜

a

3

，见下表：

x	(-∞， a 2 )	a 2	( a 2 ， a 3 )	a 3	( a 3 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

∴当x=

a

2

时，函数取得极大值为f(

a

2

)=0；
当x=

a

3

时，函数取得极小值为f(

a

3

)=

a3

27

，
（2）由（1）可知：
当a＞0时，

x= a 3 y= a3 27

，消去a得：y=x³（x＞0），
当a＜0时，

x= a 2 y=0

，消去a得：y=0（x＜0），
所以 P点的轨迹方程为：y=

x3，x＞0 0，x＜0

．