Question

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，
（1）已知，求λ₁+λ₂的值；
（2）求的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），
由得：(x+1，0)·(2，-y)=(x-1，y)·(-2，y)，
化简得C：y²=4x。
（Ⅱ）（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m≠0)，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
又M（-1，-），
联立方程组，消去x得：y²-4my-4=0，
△=(-4m)²+12＞0，
，
由，得，
整理得，
∴。
（2）=（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|
=(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)|+y_M²|
=(1+m²)|-4+×4m+|
==4(2+m²+)，
当且仅当，即m=1时等号成立，
所以的最小值为16。