Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、 三点. （1）求椭圆的方程；

（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得.     ∴椭圆的方程  （4分）

（2），设边上的高为

           当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．

           设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，

            所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为                  （10分）

（3）将直线代入椭圆的方程并整理．

得．

设直线与椭圆的交点，

由根系数的关系，得．

直线的方程为：，它与直线的交点坐标为

同理可求得直线与直线的交点坐标为．

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：

，

因此结论成立．

综上可知．直线与直线的交点住直线上．                  （16分）