Question

已知等比数列{a_n}和等差数列{b_n}，且a_n＝2ⁿ，b_n＝3n＋2，设数列{a_n}，{b_n}中的共同项由小到大排列组成数列{c_n}．

求出数列{c_n}的通项公式c_n．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第m项相同，即an＝bm，亦即2n＝3m＋2． ∵2n＋1＝2·2n＝2(3m＋2)＝6m＋4＝3(2m＋1)＋1 2n＋1被3除余1．∴数列{an}中的第n＋1项不在{bn}中， 又∵2n＋2＝22·2n＝4(3m＋2)＝12m＋8＝3(4m＋2)＋2 2n＋2被3除余2．∴数列{an}中的第n＋2项在{bn}中． 由此可知：当an在数列{bn}中时，其后每隔一项也都在{bn}中，由于23＝3B×2＋2，所以数列{an}中从第3项开始的所有奇数项均在{bn}中，而所有偶数项都不在{bn}中． ∴两个数列的公共项cn＝22n＋1＝2·4n(n∈N*) 解法二：由an＝bm，得2n＝3m＋2 ∴2n－2＝3m．即2n－2是3的倍数． 当n＝2k＋1(k∈N*)时，2n－2＝22k＋1－2＝2(4k－1)＝2(4－1)(4k－1＋4k－2＋…＋4＋1)是3的倍数； 当n＝2k(k∈N*)时，2n－2＝22k－2＝(4k－1)－1不是3的倍数． ∴cn＝22n＋1＝2·4n．