Question

9．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R）的最大值是1，其图象经过点$M（{\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{1}{2}}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知$α\;，\;\;β∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）$，且$f（α）=\frac{3}{5}$，$f（β）=\frac{12}{13}$．求f（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，将点M的坐标代入化简后，由φ的范围和特殊角的三角函数值求出φ的值，由诱导公式化简后得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）和题意求出cosα和cosβ，由α、β的范围和平方关系求出sinα、sinβ，利用两角和的余弦公式求出cos（α+β），可得f（α+β）的值．

解答 解：（1）由题意得，A=1，
∵函数f（x）的图象经过点$M（{\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{1}{2}}）$，
∴$sin（\frac{π}{3}+φ）=\frac{1}{2}$，
由0＜φ＜π得，$\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}+φ＜\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}+φ=\frac{5π}{6}$，解得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；
（2）由题意知，$f（α）=\frac{3}{5}$，$f（β）=\frac{12}{13}$，
由（1）得，cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{12}{13}$，
∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$sinα=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，同理可得sinβ=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$，
即f（α+β）的值是$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查了形如f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式的确定，两角和的余弦公式、平方关系和诱导公式的应用，注意角的范围，考查化简、计算能力．