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    若A、B与 F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    5
    +y2=1    的两长轴端点与两焦点，椭圆C上的点P使得∠F1PF2=
    π
    2
    ，则tan∠APB=
    -
    		5
    -
    		5
    ．
    分析：由椭圆的定义和勾股定理，算出点P在第一象限时的坐标为P（
    		15
    2
    ，
    1
    2
    ），再由直线PA、PB的倾斜角与∠APB的关系，结合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tan∠APB的值．
    解答：解：根据题意，∠APB的大小与点P在哪一象限无关，因此以点P在第一象限为例，设P（m，n）
    ∵|PF1|+|PF2|=2a=2
    		5
    ，|PF1|2+|PF2|2=4c2=16
    ∴|PF1|•|PF2|=
    1
    2
    [（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|2+|PF2|2）]=2
    由此可得，△PF1F2的面积S=
    1
    2
    |PF1|•|PF2|=1
    又∵△PF1F2的面积S=
    1
    2
    |F1F2|•n=1
    ∴n=
    2
    2c
    =
    1
    2
    ，代入椭圆方程可得m=
    		15
    2
    ，得P（
    		15
    2
    ，
    1
    2
    ）
    因此：kPA=
    1
    2
    -0
    		15
    2
    +
    		5
    =
    1
    		15
    +2
    		5
    ，kPB=
    1
    2
    -0
    		15
    2
    -
    		5
    =
    1
    		15
    -2
    		5

    ∵∠APB等于PB的倾斜角减去PA的倾斜角
    ∴tan∠APB=
    kPB-kPA
    1+k PBkPA
    =
    1
    		15-2
    		5
    -
    1
    		15
    +2
    		5
    1+
    1
    		15
    -2
    		5
    ×
    1
    		15
    +2
    		5
    =-
    		5

    故答案为：
    		5
    点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为直角，求该点与长轴两个顶点所张角的正切值，着重考查了直线的斜率公式、两角差的正切公式和椭圆的几何性质等知识，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，过右焦点F且倾斜角为
    π
    3
    的直线与C相交于A、B两点，且3
    AF
    =5
    FB
    ．
    （1）求椭圆的离心率；
    （2）若△ABF1的面积小于等于
    8
    		3
    5
    （F1为左焦点），求弦AB长度的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ．
    （1）若圆（x-2）2+（y-1）2=
    20
    3
    与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆的方程；
    （2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60°．求
    |MF|
    |NF|
    的值．
    （3）在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F1、F2，点R在直线l：x-
    		3
    y+8=0上．当∠F1RF2取最大值时，求
    |RF1|
    |RF2|
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△OFQ的面积为2
    		6
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m    ．
    （1）设
    		6
    ＜m＜4
    		6
    ，求向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角θ    正切值的取值范围；
    （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
    OF
    |=c，m=(
    		6
    4
    -1)c2    ，当|
    OQ
    |    取得最小值时，求此双曲线的方程．
    （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    		2
    2
    ，左、右焦点分别为
    F1，F2，点P（2，
    		3
    ），点F2在线段PF1的中垂线上．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l1：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l1经过定点，并求该定点的坐标．
    （3）若过点B（2，0）的直线l2（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF的面积之比为
    1
    2
    ，求直线l2的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法中，正确的有
     
    ．
    ①若点P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离是|PF|=x0+
    p
    2
    ；
    ②设F1、F2为双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的两个焦点，P（x0，y0）为双曲线上一动点，∠F1PF2=θ，则△PF1F2的面积为b2tan
    θ
    2
    ；
    ③设定圆O上有一动点A，圆O内一定点M，AM的垂直平分线与半径OA的交点为点P，则P的轨迹为一椭圆；
    ④设抛物线焦点到准线的距离为p，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则
    1
    |AF|
    、
    1
    p
    、
    1
    |BF|
    成等差数列．

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