Question

已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B
（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使∠MQN=45°．试求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

解（1）已知圆C：（x-1）²+y²=9的圆心为C（1，0），因直线过点P与PC垂直，所以直线l的斜率为-

1

2

，
直线l的方程为y-2=-

1

2

（x-2），即  x+2y-6=0．
（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2，即 x-y=0
圆心C到直线l的距离为

1

2

，圆的半径为3，弦AB的长为

34

．
（3）∵圆C与x轴交于M（-2，0），N（4.0）两点∴tan45°=|

kMQ-kNQ

1+kMQ×．kNQ

|．
1=|

y x+2 _ y x-4

1+ y x+2 × y x-4

|
1=|

-6y

x2-2x-8+y2

|
x²-2x-8+y²=6y或x²-2x-8=-6y∴Q点的轨迹方程是：（x-1）²+（y-3）²=18（y＞0），或（x-1）²+（y+3）²=18（y＜0）