Question

已知函数f(x)=

cosx+1

x2+xsinx+1

，对于区间[-

π

2

，

π

2

]上的任意实数x₁、x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；②

x

2 1

＞

x

2 2

；③|x₁|＞x₂；④x₁+x₂＜0；⑤x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＜f（x₂）恒成立的条件序号是

②⑤

．（写出所有正确条件的序号）

Answer 1

分析：先判断函数为偶函数，再考虑函数在[0，

π

2

]上的单调性，然后利用单调性的定义验证正确的条件，列举反例判断不正确的条件即可

解答：解：函数的定义域为[-

π

2

，

π

2

]，f(-x)=

cos(-x)+1

(-x)2+(-x)sin(-x)+1

=

cosx+1

x2+xsinx+1

=f(x)
∴函数f(x)=

cosx+1

x2+xsinx+1

是偶函数
∴可先考虑函数在[0，

π

2

]上的单调性
f′(x)=

-sinx(x2+xsinx+1)-(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)

(x2+xsinx+1)2

=-

sinx(x2+xsinx+1)+(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)

(x2+xsinx+1)2

当x∈[0，

π

2

]时，sinx≥0，cosx≥0，∴f′（x）＜0
∴函数在[0，

π

2

]上的单调减
若x₁＞x₂，取x1=

π

4

，x2=-

π

3

，∴0＜x1＜-x2＜

π

2

，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴①不正确；
若

x

2 1

＞

x

2 2

，x₁、x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，∴

π

2

≥|x₁|＞|x₂|≥0，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴②正确；
若|x₁|＞x₂，则取x1=-

π

3

，x2=-

π

4

，∴0＜-x1＜-x2＜

π

2

，∴f（-x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴③不正确；
若x₁+x₂＜0，取x1=

π

4

，x2=-

π

3

，∴0＜x1＜-x2＜

π

2

，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），可知④不正确
若x₁＞|x₂|，区间[-

π

2

，

π

2

]上的任意实数x₁、x₂，即x₁＞x₂，且x₁，x₂∈[0，

π

2

]，，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴⑤正确；
故答案为：②⑤

点评：本题以具体函数为载体，考查函数的性质，考查结论成立的条件，是个开放式的命题，对学生的理解判断能力要求比较高．