Question

13．已知曲线C的方程是：x²+y²-2x-4y+m=0，点P（3，-1）．
（1）若m=1，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程；
（2）若曲线C表示圆且被直线x+2y+5=0截得的弦长为2$\sqrt{5}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）m=1时，曲线C表示圆，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，即直线l与圆相切，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-3）-1．由圆心到直线距离等于半径求得k．
（2）曲线C的方程配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，若方程表示圆则m＜5．
根据圆的弦长公式2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{5}$，⇒m的值．

解答 解：（1）m=1时，曲线C的方程是：（x-1）²+（y-2）²=4，
表示圆心为（1，2），半径为2的圆，
∵直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，∴直线l与圆相切．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-3）-1．即kx-y-3k-1=0．
$\frac{|k-2-3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$⇒k=-$\frac{5}{12}$，直线l的方程为：5x+12y-3=0．
综上所述所求直线l的方程为：x=3，5x+12y-3=0．
（2）曲线C的方程配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，若方程表示圆则5-m＞0⇒m＜5．
圆心到直线x+2y+5=0距离d=$\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，
根据圆的弦长公式2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{5}$，⇒2$\sqrt{5-m-20}=2\sqrt{5}$，⇒m=-20

点评 本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，弦长公式，属于中档题．