Question

4．已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．若直线l过P且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，则直线l的一般式方程为3x-4y+20=0或x=0．

Answer 1

分析 求出圆心和半径．设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，即得到直线方程．

解答 解：∵圆C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圆心坐标为（-2，6），半径为r=4，点P（0，5），
设过P的直线方程为：y=kx+5，化为一般方程：kx-y+5=0
圆心到直线的距离d=$\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．
∴d=$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴$（2{\sqrt{3}）^{2}+d}^{2}={r}^{2}$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
所以3x-4y+20=0，
又因为过某一点可以做两条直线截得的弦长相等，而k只有一个值，那么另一个k值不存在，又要过P，
所以：直线方程为：x=0，
故填：3x-4y+20=0或x=0．

点评 本题考查了弦长问题．过某一点截得的弦长问题：如果弦长等于直径，直线过圆心．否则必有两条直线截得的弦长相等，设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，如果k只有一个值，那么另一个k值不存在，直线与y轴平行．属于基础题．