Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且

3

b=2a•sinB．
（Ⅰ）求∠A的度数；
（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10

3

，求b²+c²的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，可把

3

b=2a•sinB变形为

3

sinB=2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A．
（2）利用三角形的面积公式可得bc=40，代入余弦定理即可求出b²+c²的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

b=2a•sinB，
∴由正弦定理知：

3

sinB=2sinAsinB，
∵∠B是三角形内角，
∴sinB＞0，
∴sinA=

3

2

，
∴∠A=60°或120°，，
∵∠A是锐角，
∴∠A=60°．
（Ⅱ）∵a=7，△ABC的面积为10

3

，
∴10

3

=

1

2

bcsin60°，
∴bc=40；
由余弦定理得7²=b²+c²-2bccos60°，
∴b²+c²=89．

点评：本题主要利用了正弦定理的变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，三角形面积公式和余弦定理，注意整体思想的应用．