Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面平行的判定定理即可；
（2）利用线面垂直的判定定理即可证明．
解答：证明：（1）设AC∩BD=H．连接EH，
∵AD=CD，DB平分∠ADC，
∴AH=HC．
又∵E为PC的中点，
∴EH∥PA．
又∵PA?平面BDE，EH?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）由（1）可知：BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC．
又∵AC∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．
点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理是解题的关键．注意三角形中位线定理和等腰三角形的“三线合一”的性质应用．