Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A-DF-B的大小；

Answer 1

方法一

解: (Ⅰ)设AC∩BD=0，连结OE，                                

   ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE.

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(Ⅱ)∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，

∴BD⊥AM.

∴AD=,AF=1,OA=1,

∴AOMF是正方形，

∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=0

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，

由三垂线定理得AG⊥DF，

∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角.

方法二

   （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

    设，连接NE，

    则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

    ∴NE=(,

    又点A、M的坐标分别是

  （）、（.

  ∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

（Ⅱ）

   

（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF.