Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1) 求直线AC与PB所成角的余弦值 (2) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　如图所示，(1)设AC∩BD=O连结OE，则OE∥PB， 　　∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角． 　　在△AOE中，AO=1，OE=PB=， 　　AE=PD=， 　　∴cos∠EOA==． 　　即AC与PB所成角的余弦值为． 　　方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)、B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、 P(0，0，2)、E(0，，1)， 　　从而=(，1，0)，=(，0，－2)． 　　设与的夹角为θ，则cosθ===， 　　∴AC与PB所成角的余弦值为．
(2)	方法一：在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=． 　　连结PF，则在Rt△ADF中，DF==，AF=ADtan∠ADF=． 　　设N为PF的中点，连结NE，则NE∥DF． 　　∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥平面PAC从而NE⊥平面PAC 　　∴N点到AB的距离－AP－1，N点到AP的距离=AF=． 　　方法二：由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则=(－x，，1－z)．由NE⊥平面PAC，可得 　　即化简得∴ 　　即N点的坐标为(，0，1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，． 　　点评：本题关键是构造过PD的平面与平面PAC垂直．由PA⊥底面，故只需作DF⊥AC，得DF⊥平面PAC．