Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，
(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

解：(Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC， 又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC， ∵NC平面ONC， ∴OA⊥NC， 取Q为AN的中点，则PQ∥NC， ∴PQ⊥OA，在等腰△AOB中，∠AOB=120°， ∴∠OAB=∠OBA=30°， 在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴， 在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO， ∴NB=ON=AQ， ∴。
(Ⅱ)连结PN，PO， 由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB， 又ON平面OAB，∴OC⊥ON， 又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC， ∴OP是NP在平面AOC内的射影， 在等腰Rt△COA中，P为AC的中点， ∴AC⊥OP，根据三垂线定理，知AC⊥NP， ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角， 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴， 在Rt△AON中，， ∴在Rt△PON中，， ∴。