Question

已知数列{x_n}、{y_n}，x_n+1=

2xn+1

-xn

，y_n=

xn-1

xn+1

．
（1）{y_n}是否为等差数列？说明理由；
（2）S_n是{y_n}前n项和，T_n是{

1

xn+1

}前n项和，求

lim

n→∞

Sn

Tn

．

Answer 1

分析：（1）求差y_n+1-y_n，利用x_n+1=

2xn+1

-xn

，y_n=

xn-1

xn+1

． 即可得结论；
（2）先根据y_n=

xn-1

xn+1

=1-

2

xn+1

，表示出S_n，进而可解．

解答：解：（1）由题意，y_n+1-y_n=

xn+1-1

xn+1+1

-

xn-1

xn+1

= 

3xn+1

xn+1

-

xn-1

xn+1

=2，∴{y_n}是等差数列；
（2）∵y_n=

xn-1

xn+1

=1-

2

xn+1

∴S_n=n-2T_n
∵S_n=ny₁+n（n-1）
∴Tn=n-

y1

2

n-

1

2

n2
∴

Sn

Tn

=

y1+n-1

1- y1 2 - 1 2 n

∴

lim

n→∞

sn

Tn

=-2

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等差数列，考查数列极限的求法，关键是利用等差数列的定义，求数列极限的基本方法．