Question

求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明.

Answer 1

思路分析:要求出y=的单调区间，首先求出定义域,然后利用复合函数的判定方法判断.

解:设u=x²-2x-3,则y=.

∵u≥0，

∴x²-2x-3≥0,即x≥3或x≤-1.

∵y=在u≥0时是增函数,

又当x≥3时，u是增函数,∴当x≥3时，y是x的增函数.

又当x≤-1时，u是减函数,

∴当x≤-1时，y是x的减函数.

∴y=的单调递增区间是[3,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].

下面证明当x≥3时,y=是增函数.

设3≤x₁＜x₂,则Δx=x₂-x₁＞0,

Δu=u(x₂)-u(x₁)

=x₂²-2x₂-3-x₁²+2x₁+3

=(x₂²-x₁²)+2(x₁-x₂)

=(x₂-x₁)(x₂+x₁-2),

∵Δx＞0,x₁≥3,x₂＞3,

∴x₁+x₂-2＞0,∴Δu＞0,∴u₂-u₁＞0,

∴Δy=y(u₂)-y(u₁)=

=

∴Δy＞0,∴当x≥3时，y=是增函数.