Question

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：x+y=4，曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），过原点O的直线l分别交C₁，C₂于A，B两点，则$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．

Answer 1

分析 求出曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx-y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值．

解答 解：曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），普通方程为（x-1）²+y²=1．
设直线方程为kx-y=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴|OB|=2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
kx-y=0与x+y=4联立，可得A（$\frac{4}{k+1}$，$\frac{4k}{k+1}$），∴|OA|=$\sqrt{\frac{16（1+{k}^{2}）}{（k+1）^{2}}}$，
∴$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$=$\frac{k+1}{2（{k}^{2}+1）}$，
设k+1=t（t＞0），则$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$=$\frac{1}{2t+\frac{4}{t}-4}$≤$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．
∴$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，考查距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．