Question

定义“不动点”：对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀，则称x₀是函数f(x)的不动点．已知函数f(x)＝x²＋(b＋1)x＋(2b－3)．

(1)当b＝0时，求函数f(x)的不动点；

(2)若函数f(x)有两个不同的不动点，求实数b的取值范围．(提示：b²－8b＋12＞0b＞6，或b＜2)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当b＝0时，f(x)＝x2＋x－3． 　　由题意知，f(x)的不动点满足x2＋x－3＝x，即x2－3＝0，解得x＝±． 　　所以，当b＝0时，函数f(x)有两个不动点－和． 　　(2)因为f(x)＝x2＋(b＋1)x＋(2b－3)有两个不同的不动点， 　　所以x＝x2＋(b＋1)x＋(2b－3)有两个不相等的实数根， 　　即x2＋bx＋(2b－3)＝0有两个不相等的实数根， 　　所以Δ＝b2－4(2b－3)＞0，即b2－8b＋12＞0，解得b＞6，或b＜2． 　　所以，当函数f(x)有两个不同的不动点时，实数b的取值范围为(－∞，2)∪(6，＋∞)． 　　点评：函数f(x)的“不动点”实质上就是方程f(x)＝x的根，这样，函数与方程有机地结合在一起．本题也属于信息迁移题，读懂题意，理解新概念，并将此转化为已学知识是解题的关键．