Question

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2． 　　利用单调性的定义或图像可以证明f(x)在[1，＋∞)上为增函数， 　　所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝． 　　(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． 　　当a≥0时，函数f(x)的值恒为正． 　　当a＜0时，函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数， 　　故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a， 　　于是当3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立， 　　故此时－3＜a＜0． 　　综上可知，实数a的取值范围是(－3，0)∪[0，＋∞)，即(－3，＋∞)． 　　说明：不等式f(x)＞m恒成立f(x)min＞m；不等式f(x)＜m恒成立f(x)max＜m．因此不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值问题．

提示：

(1)当a的值给定时，函数变为f(x)＝x＋＋2，它类似于函数f(x)＝x＋，所以可以利用函数的单调性来判断最值；(2)不等式恒成立转化为求函数的最值．