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    f（x）=alnx+bx2+x在x1=1与x2=2时取得极值，
    （1）试确定a、b的值；
    （2）求f（x）的单调增区间和减区间．
    分析：（1）求出f′（x），令其为0得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出a与b即可；
    （2）因为要求f（x）的单调增区间，令f′（x）＞0求出x的范围；减区间，令f′（x）＜0即可得到x的范围．
    解答：解：（1）令f'（x）=
    a
    x
    +2bx+1=0
    则2bx2+x+a=0
    由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理得：1+2=-
    1
    2b
    ，1×2=
    a
    2b
    ；
    ∴a=-
    2
    3
    ，b=-
    1
    6
    ；
    （2）由（1）知：f′（x）=-
    2
    3x
    -
    1
    3
    x+1=-
    1
    3x
    （x-1）（x-2）
    令f′（x）＞0则
    (x-1)(x-2)
    x
    ＜0，解得：x＜0或1＜x＜2
    令f′（x）＜0则
    (x-1)(x-2)
    x
    ＞0，解得x＞2或x＜1
    根据对数函数定义得x＞0
    ∴f（x）的单调增区间为（1，2），减区间是（0，1）和（2，+∞）．
    点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，运用韦达定理解决实际问题的能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
    （Ⅰ）求a，b的值；
    （Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[
    1e
    ，e]    内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
    （Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
    （1）讨论函数f（x）的单调性；
    （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
    m2
    ]    在区间（t，3）上有最值，求实数m的取值范围；
    （3）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=alnx-（x-1）2-ax（常数a∈R）．
    （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：x0＜
    x1+x22
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•宝山区二模）函数f（x）=alnx-bsinx+3有反函数的充要条件是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）．
    （1）求函数f（x）的单调区间
    （2）函数f（x）的图象在x=4处切线的斜率为
    3
    2
    ，若函数g(x)=
    1
    3
    x3+x2[f′(x)+
    m
    2
    ]    在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

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