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    对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan} 为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），则以下结论正确的序号为
    ①④
    ①④
    ．
    ①△an=2n+2；       
    ②数列{△3an}既是等差数列，又是等比数列；
    ③数列{△an}的前n项之和为an=n2+n；   
    ④{△2an}的前2014项之和为4028．
    分析：根据k阶差分数列的定义，分别代入公式进入验证即可．
    解答：解：①∵△an=an+1-an（n∈N*），{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，an=n2+n．
    ∴△an=an+1-an =（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2，故①正确．
    ②∵△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
    ∴{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列，
    ∴对数列{△3an}，△3an=2-2=0，故数列{△3an}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
    ③数列{△an}的前n项之和为△a1+△a2+…+△an=a2-a1+a3-a2+…+an+1-an=an+1-a1=（n+1）2+（n+1）-（1+1）=n2+3n，故③不正确．
    ④△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
    ∴{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列，{△2an}的前2014项之和为 2×2014=4028，故④正确．
    故答案为：①④．
    点评：点评：本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法，还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．
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    8、对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
    （1）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N），，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，为什么？
    （2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求数列{an}的通项公式．
    （3）（理）对（2）中数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

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    对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），则以下结论正确的序号为
    ①④
    ①④
    ．
    ①△an=2n+24；       
    ②数列{△3an}既是等差数列，又是等比数列；
    ③数列{△an}的前n项之和为an=n2+n；   
    ④{△2an}的前2014项之和为4028．

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    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），是判断{Van}是否为等差数列，并说明理由；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足V2an-Van+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式．

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    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，并说明理由；
    （Ⅱ）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

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