Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值.

Answer 1

解：(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.

又半焦距c=2,故虚半轴长b=.

所以W的方程为=1,x≥.

(2)解：设A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).

当AB⊥x轴时,x₁=x₂,y₁=-y₂.

从而·=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k²)x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=，

所以·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=+m²==2+.

又因为x₁x₂＞0,所以k²-1＞0,从而·＞2.

综上,当AB⊥x轴时,·取得最小值2.