Question

在数列{a_n}中，a_n+1+a_n=3n-54(n∈N^*),

(1)若a₁+20=0,求{a_n}的通项公式a_n;

(2)设S_n为{a_n}的前n项和，证明：当a₁+27＞0时，存在正整数m,使得当n=m时，S_n和|a_n+1+a_n|都取得最小值，并求出此时的m值.

Answer 1

解：(1)由已知a₂+a₁=-51,

    又a₁=-20,∴a₂=-31,

    由a_n+1+a_n=3n-54,                                ①

a_n+2+a_n+1=3(n+1)-54,                             ②

②-①得，a_n+2-a_n=3,

∴数列{a_n}的奇数项和偶数项分别成公差为3的等差数列.

    当n为奇数时，a_n=-20+(-1)·3=,

    当n为偶数时，a_n=-31+(-1)·3=,

∴a_n=.

(2)当n为偶数时，

S_n=(a₁+a₂)+(a₃+a₄)+…+(a_n-1+a_n)

=(3×1-54)+(3×3-54)+…+［3(n-1)-54］

=3［1+3+5+…+(n-1)］-×54

=n²-27n

    此时，当n=18时，(S_n)_min=-243,

    当n为奇数时，

S_n=a₁+(a₂+a₃)+(a₄+a₅)+…+(a_n-1+a_n)

=a₁+(3×2-54)+(3×4-54)+…+［3(n-1)-54］

=a₁+3(2+4+…+n-1)-×54

=n²-27n++a₁

    此时，当n=17或19时，S_n取得最小值a₁-216,

    当a₁＞-27时，-216+a₁＞-243,

∴综上可知，当n=18时，（S_n）_min=-243,

    又|a_n+a_n+1|=|3n-54|,此时当n=18时，

|a_n+1+a_n|取得最小值0，

∴存在正整数m=18，使得当n=m时，

S_n与|a_n+1+a_n|都取得最小值.