Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AA₁＝BC＝2AC＝2．

(Ⅰ)若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；

(Ⅱ)在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁－CD－C₁的大小为60°．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)证明：∵ 　　∴ 　　又由直三棱柱性质知　　1分 　　∴平面． 　　∴　　2分 　　由，为中点，可知， 　　∴即　　4分 　　又　∴平面 　　又平面 　　故平面平面　　6分 　　(Ⅱ)解：当时二面角的大小为60°　　7分 　　假设在上存在一点满足题意， 　　由(Ⅰ)可知平面．如图，在平面内过作，交或延长线或于，连，则 　　所以为二面角的平面角　　8分 　　∴ 　　由知，　　10分 　　设，则 　　∵的面积为1　∴ 　　解得，即 　　∴在上存在一点满足题意　　12分 　　解法二： 　　(Ⅰ)如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 　　则． 　　即　　2分 　　由得 　　由得　　4分 　　又 　　∴平面　又平面 　　∴平面平面　　6分 　　(Ⅱ)当时二面角的大小为60°　　7分 　　设，则点坐标为， 　　设平面的法向量为 　　则由令 　　得　　8分 　　又∵为平面的法向量 　　则由　　10分 　　解得，故. 　　∴在上存在一点满足题意　　12分