Question

设K为凸四边形ABCD内一点，求证：＝0的充要条件是K为两组对边中点连线的交点。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：选择坐标系使各点坐标依次为A（0，0）、B（4x1，0）、C（4x2，4y2）、D（4x3、4y3），则各边AB、BC、CD、DA的中点坐标依次为： E（2x1，0）、F（2x1＋2x2，2y2）、G（2x2＋2x3，2y2＋2y3）、H（2x3，2y3） 由三角形中位线性质可知四边形EFGH恰为平行四边形，而两组对边中点连线的交点即为平行四边形EFGH的中心．                                                                                                                若K为两组对边中点连线交点，易知其坐标为 K（x1＋x2＋x3，y2＋y3），各向量依次为： =（－x1－x2－x3，－y2－y3） =（3x1－x2－x3，－y2－y3） =（3x2－ x1－x3，3y2－y3） =（3x3－x1－ x2，3y3－y2） ∴ ＋＋＋=0                                                                  若四边形内一点K（x，y）使＋＋＋=0 即4 ( x1＋x2＋x3 )－4x= 4 ( y2＋y3 )－4y = 0 可知点K坐标为K（x1＋x2＋x3，y2＋y3），即K为两组对边中点连线的交点。