Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，{b_n }是公差不为0的等差数列，其中b₂、b₄、b₉依次成等比数列，且a₂=b₂
（1）求数列{a_n }和{b_n}的通项公式：
（2）设c_n=

bn

an

，求数列{c_n）的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由关系式an=

s1              n=1 sn-sn-1    n≥2

求出a_n，再由等差数列的通项公式和题意列出方程，求出首项和公差，代入通项公式化简即可；
（2）由（1）求出c_n，再根据c_n的特点，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和，要认真化简．

解答：解：（1）由题意知，S_n=2ⁿ⁺¹-2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ                    
当n=1时，a₁=S₁=4-2=2，也符合上式，
∴a_n=2ⁿ，
即数列{a_n}是首项为2公比为2的等比数列，
设数列{b_n}的首项为b₁，公差为d （d≠0），
由b₂=a₂=4，又b₂、b₄、b₉依次成等比数列得，
（4+2d）²=4（4+7d），解得d=3，b₁=1，
∴b_n=3n-2．
（2）由（1）得，c_n=

bn

an

=

3n-2

2n

，
∴T_n=

1

2

+

4

4

+

7

8

+…+

3n-2

2n

2T_n=1+

4

2

+

7

4

+

10

8

+…

3n-2

2n-1

两式相减得T_n=l+3（

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

）-

3n-2

2n

=1+3（

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

）-

3n-2

2n

=1+3（1-

1

2n-1

）-

3n-2

2n

=4-

3n+4

2n

．

点评：本题考查了等差和等比数列的性质，通项公式和前n项和公式的应用，以及错位相减法求数列的前n项和．