Question

抛物线x²=-8y的准线与y轴交于点A．过点A作直线交抛物线于M，N两点，．点B在抛物线对称轴上，且．则的取值范围是

1. A.
   （3，+∞）
2. B.
   （4，+∞）
3. C.
   （5，+∞）
4. D.
   （6，+∞）

Answer 1

D
分析：由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），，联立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，，令x=0可求B的纵坐标，结合K的范围可求||的范围
解答：由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），
联立方程可得x²+8kx+16=0
则可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴=-4k，=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
∵==
又∵即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线
则MN的垂直平分线y+4k²-2=-与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
则=2+4k²＞6
故选D
点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于向量知识的综合应用．