Question

已知抛物线y²=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点．
（1）求证：点A、B关于x轴对称；
（2）求△AOB外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）根据|OA|=|OB|可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．由于A，B都在抛物线上进而满足y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，整理可得（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．根据x₁、x₂与p同号可知x₁+x₂+2p≠0进而可得x₁=x₂．根据抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．
（2）由（1）可知∠AOx=30°，进而根据抛物线和直线方程求得点A的坐标，设外接圆方程把点A代入即可求得d，方程可得．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．
（2）解：由（1）知∠AOx=30°，则y²=2px，x=6p，
∴y=

3

3

x，y=2

3

p．
∴A（6p，2

3

p）．
△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x²+y²+dx=0．
将点A（6p，2

3

p）代入，得d=-8p．
故△AOB外接圆方程为x²+y²-8px=0．

点评：本题主要考查抛物线的应用和用待定系数法求得曲线方程的问题．是高考中经常考的题目，应加强训练．