Question

（2013•惠州模拟）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E是棱CD上中点，P是棱AA₁中点，
（1）求证：PD∥面AB₁E；
（2）求三棱锥B-AB₁E的体积．

Answer 1

分析：（1）取AB₁中点Q，连接PQ，利用三角形中位线定理和正方体的性质，证出四边形PQDE为平行四边形，可得PD∥QE，利用线面垂直判定定理即可证出PD∥面AB₁E；
（2）由正方体的性质，算出BB₁=2是三棱锥B₁-ABE高，而S_△ABE=

1

2

 S_ABCD=2，利用锥体体积公式算出V_B1-ABE=

1

3

S_△ABE•BB₁=

4

3

，即得三棱锥B-AB₁E的体积．

解答：解：（1）取AB₁中点Q，连接PQ，
∵△AA₁B₁中，PQ为中位线，
∴PQ

∥

.

1

2

A₁B₁，…（2分）
又∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CD中点，
∴DE

∥

.

1

2

A₁B₁，…（4分）
∴PQ

∥

.

DE，得四边形PQDE为平行四边形，可得PD∥QE…（6分）
∵QE?平面AB₁E，PD?平面AB₁E，
∴PD∥面AB₁E；…（8分）
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABE，
∴BB₁为三棱锥B₁-ABE高，BB₁=2…（10分）
∵四边形ABCD为正方形，∴S_△ABE=

1

2

 S_ABCD=2…（12分）
故三棱锥B-AB₁E的体积为
V_B-AB1E=V_B1-ABE=

1

3

S_△ABE•BB₁=

4

3

…（14分）

点评：本题在正方体中求证线面平行，并求锥体的体积．着重考查了正方体的性质、线面平行的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．