Question

已知函数f(x)=4sinxcos(x-

π

3

)-

3

（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x-

π

3

），从而可求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，从而可求得f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=4sinx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）-

3

=sin2x+

3

（1-cos2x）-

3

=sin2x-

3

cos2x
=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

3

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2x-

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）得，x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
∴其对称轴方程为：x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）∈[-

3

，2]，
∴f（x）_min=-

3

，f（x）_max=2．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查其周期性与对称性及单调性与最值，属于中档题．