Question

如图，四棱锥P—ABCD中，侧棱PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角；

(2)求二面角A-BE-D的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

思路解析：本题第一问，要求异面直线所成的角，可以转而去求与这两条直线相关的向量的夹角，从而得到结果.而要求相关向量的夹角，可以考虑建立合适的坐标系，找到相关向量的坐标，从而得到结果；第二问，要求二面角的大小可以考虑去求这两个平面的法向量的夹角，从而找到结果.

解：(1)建立如图所示的直角坐标系B—xyz.设BC=a，则A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，C(a,0,0)，=(3-a,3,0)，=(3,3,-3)，

∵CD⊥PD,

∴·=0，即3(3-a)+9=0，a=6.

∵=(-3,3,0),=(0,3,-3)，cos〈,〉=,

∴异面直线PA与CD所成的角是60°.

(2)设平面BED的法向量为n₁=(x,y,1)，∵=(0,2,1)，=(3,3,0),

由,得即n₁=(,-,1).

又∵平面ABE的法向量n=(1,0,0)，∴cos〈n₁,n₂〉=

因此，二面角A-BE-D的大小为arccos