Question

6．若n是77⁷⁷-10除以19的余数，则${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$的展开式中的常数项为$\frac{168}{5}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理求得77⁷⁷-10除以19的余数为n=10，再在 ${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展开式的通项共公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：又由77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-10，
故77⁷⁷-10除以19的余数为-9，即77⁷⁷-10除以19的余数为10，可得n=10．
∴则${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$=${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展开式的通项共公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•${（\frac{5}{2}）}^{10-2r}$•${x}^{\frac{5r}{3}-10}$，
令$\frac{5r}{3}$-10=0，求得r=6，∴展开式中的常数项为${C}_{10}^{6}$•${（\frac{5}{2}）}^{-2}$=$\frac{168}{5}$，
故答案为：$\frac{168}{5}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．