Question

已知数列{a_n}是正数组成的等差数列，S_n是其前n项的和，并且a₃＝5，a₄S₂＝28．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求证：不等式(1＋)(1＋)…(1＋)·对一切n∈N₊均成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设数列{an}的公差为d，由已知，得 　　∴(10－3d)(5＋d)＝28， 　　∴3d2＋5d－22＝0，解之得d＝2或d＝． 　　∵数列{an}各项均为正， 　　∴d＝2．∴a1＝1， 　　∴an＝2n－1． 　　(2)证明：∵n∈N+， 　　∴只需证明(1＋)(1＋)…(1＋)≥成立． 　　①当n＝1时，左边＝2，右边＝2， 　　∴不等式成立． 　　②假设当n＝k时，不等式成立，即 　　(1＋)(1＋)…(1＋)≥． 　　那么当n＝k＋1时， 　　(1＋)(1＋)…(1＋)(1＋)≥(1＋)＝ 　　以下只需证明． 　　即只需证明2k＋2≥． 　　∵(2k＋2)2－()2＝1＞0， 　　∴(1＋)(1＋)…(1＋)≥． 　　综上①②知，不等式对于n∈N+都成立． 　　思路分析：第(2)问中的不等式左侧，每个括号的规律是一致的，因此显得“多余”，所以可尝试变形，即把不等式两边同乘以，然后再证明．