Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0.

（1）求{a_n}的通项；

（2）求{nS_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：（1）由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0,得2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀,

即2¹⁰(a₂₁+a₂₂+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

可得2¹⁰·q¹⁰(a₁₁+a₁₂+…+a₂₀)=S₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

因为a_n＞0，所以2¹⁰q¹⁰=1,解得q=,因而a_n=a₁q^n-1=,n=1,2,….

（2）因为{a_n}是首项a₁=,公比q=的等比数列，故

S_n=.

则数列{nS_n}的前n项和T_n=(1+2+…+n)-(++…+),

=(1+2+…+n)-(++…++.

前两式相减，得

,?

即T_n=.