Question

正数数列{a_n}和{b_n}满足：对于任意的自然数n，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）证明：数列{

bn

}为等差数列；
（2）若a₁=1，b₁=2，a₂=3，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差数列的定义得证
（2）利用等差数列的通项公式求出

bn

的通项公式，进而求出b_n，a_n．

解答：证明：（1）∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=

bn•bn+1

③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1•bn

+

bn•bn+1

．
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差数列．
解：（2）设数列{

bn

}的公差为d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=

9

2

．
∴

b1

=

2

，

b2

=

3

2

2

d=

b2

-

b1

=

2

2

．
∴

bn

=

n+1

2

2

∴b_n=

(n+1)2

2

，
a_n=

bn•bn+1

=

n(n+1)

2

点评：证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．